院生のための算数入門（３） コーシーの関数方程式

[mixi 2007-6-10，再録時に順序変更，末尾削除]

非線形の世の中に，なぜ線形か，という話を別の観点からしたいが，ちょっと重いので，それは（４）にして，パズルっぽい話を先に．

＊ ＊ ＊

正比例f(x)= A×xから，線形性（加法性）
　f(x1+x2)=f(x1)+f(x2) (*)
が出るのはよいとして，逆はいえるのだろうか．

(*)をコーシーの関数方程式というそうである．

なんか入試問題にあったような気がするが，GO！

(*)で x1=x2=0とすると
f(0)=f(0)+f(0)=2f(0)
より，f(0)=0

よって任意のxについて
0=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)
から
f(x)=-f(x)

(*)で x1=x2=1とすると，
f(2)= f(1)+f(1)= 2f(1)
となる．次に
f(3)= f(2)+f(1)=2f(1)+f(1)=3f(1)
この方針で，自然数ｎについて
　f(nx)= nf(x)
がいえる．

一方，
f(1)=f(1/2+1/2)= 2f(1/2)
f(1)=f(1/3+2/3)=f(1/3)+f(2/3)=...=3f(1/3)
一般に
f(1)=m f(1/m)
すなわち
f(1/m)=f(1)/m

２つを合体させて
f(n/m)=(n/m) f(1)
となる．

f(1)=Aとおくと，上と最初に示したf(-x)=f(x)より
有理数のxについて，
f(x)=Ax　（※）
がいえた．でけた〜

＊ ＊ ＊

あとはｆが連続関数なら，すべてのxについて※が示されたことになる．

＊ ＊ ＊

だが，マニアックで超算数的なのは，このあとである．

連続関数という仮定がないと反例があるのだそうだ．つまり，有理数のxについて，f(x)=Ax　まではいえても，xが無理数のときには，必ずしもそうではないような例が作れるらしい．このことは，むかし森毅の本で読んだが，実際の構成が「実解析入門」（猪狩惺，岩波）に出ていることを知った．

証明は再現できないが，（円周上の）ルベーグ測度で長さの定義できない集合がある，という有名なオタク定理と直接に関係していて，ある意味すごいと思われる．